В этот момент времени угол TAK прямой.
В некоторый момент отмеченная точка окажется в центре неподвижной окружности. К этому моменту половина меньшей окружности прокатилась по четверти неподвижной окружности.
По теореме о вписанном угле величина угла TQK в два раза больше величины угла TOK. Поскольку радиус меньшей окружности в два раза меньше радиуса неподвижной окружности, то угол TOK высекает на неподвижной окружности дугу той же длины, что и дуга, высекаемая на окружности вдвое меньшего радиуса вдвое большим углом TQK. Это и означает, что точка K лежит на отрезке OA.
В процессе движения отмеченная точка сдвинется с неподвижной окружности внутрь круга. Длины прокатившихся одна по другой дуг (синих на рисунке) равны движение происходит без проскальзывания. (В доказательстве это не нуждается, поскольку движение без проскальзывания это и есть движение, при котором длины прокатившихся одна по другой дуг равны.)
Чтобы доказать эту теорему, дождёмся момента, когда отмеченная точка окажется точкой касания движущейся и неподвижной окружностей, и обозначим эту точку буквой A.
Траектория диаметр исходной окружности!
Пусть меньшая окружность движется без проскальзывания по неподвижной исходной окружности. Проследите за траекторией отмеченной точки!
Отметим на меньшей окружности произвольную точку.
Внутри неё расположим окружность вдвое меньшего радиуса так, чтобы эти две окружности большая и маленькая касались. Поскольку диаметр меньшей окружности равен радиусу исходной, то меньшая окружность проходит через центр исходной окружности.
Рассмотрим окружность.
Теорема Коперника
Доказательство: диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам; расстояние от вершины прямоугольника до котёнка то есть до точки пересечения диагоналей прямоугольника равно половине диагонали. (Подумайте, как падал бы котёнок, если бы нижний конец лестницы застрял в вершине прямого угла. Два способа падения лестницы две диагонали прямоугольника! Траектория котёнка одна и та же, только при одном способе падения котёнок в последний момент оказывается над лестницей, а при другом под лестницей.) Мы доказали, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Это дуга окружности. Её центр вершина прямого угла.
Вертикальное положение весьма неустойчиво. Вот лестница и упала. Падала она так, что верхний её конец спускался сверху вниз по вертикальной стене, а нижний скользил по земле. Проследите за траекторией красной точки середины лестницы.
В начале лестница стояла строго вертикально, обоими концами у стены.
Как-то раз сидел маленький котёнок на лестнице. В точности в её середине.
Котёнок на лестнице
Рассказ пойдёт о падающей лестнице, теореме Коперника и об астроиде. Оказывается, это почти одно и то же! Если пожелаете познакомиться со всем этим подробнее, обратитесь к книге «Прямые и кривые» Н.Б. Васильева и В.Л. Гутенмахера.
Котёнок, Коперник и астроида
Котёнок, Коперник и астроида
Комментариев нет:
Отправить комментарий